“Különösen azt gondoljuk, hogy az összes sejtés igaz, de annyira izgalmas látni, hogy ez valóban valóra vált” – mondta PuskaMatematikus a londoni Imperial Főiskolán. “És abban az esetben, amikor azt gondoltad, hogy nincs elérhető.”
Ez csak egy vadászat kezdete, amely évekbe telik – a főtermékek végre szeretnének modularitásnak lenni minden abéliai felületen. De az eredmény már segíthet sok nyitott kérdés megválaszolásában, ahogy az elliptikus görbék modularitása mindenféle új kutatási irányt megnyitott.
A keresésben lévő üvegen keresztül
Az elliptikus görbe egy különösen alapvető egyenlet, amely csak két változót használ –X És Y– Ha ábrázolja annak megoldásait, látni fogja, mi tűnik egyszerű görbéknek. De ezek a megoldások gazdag és bonyolult módon egymástól függnek, és a számelmélet sok legfontosabb kérdésében jelennek meg. Például a Birch és a Swinnerton -dyer sejtő sejtek – a matematika egyik legnehezebb nyitott problémája, 1 millió dolláros jutalommal bárki számára, hogy először bizonyítja – az elliptikus görbék megoldásainak jellege.
Az elliptikus görbéket nehéz lehet közvetlenül tanulmányozni. Tehát néha a matematikusok inkább más szögből közelítik meg őket.
Itt jönnek a moduláris formák. A moduláris alak egy nagyon szimmetrikus függvény, amely megjelenik az elemzésnek nevezett matematikai tanulmány látszólag elválasztott területén. Mivel oly sok gyönyörű szimmetriájuk van, a moduláris formák könnyebben működhetnek.
Eleinte ezek a tárgyak úgy tűnik, hogy nem szabad összekapcsolni őket. De Taylor és Wiles bizonyítéka azt mutatta, hogy minden elliptikus görbe egy adott moduláris alaknak felel meg. Bizonyos közös tulajdonságokkal rendelkeznek – például egy olyan számkészlet, amely leírja az elliptikus görbe megoldásait, szintén megjelenik a kapcsolódó moduláris formájában. A matematikusok ezért moduláris formákat használhatnak az elliptikus görbék új perspektíváinak megszerzéséhez.
A matematikusok azonban úgy vélik, hogy Taylor és Wiles modularitásának tétele csak egyetemes tény. Van egy sokkal általánosabb objektumok osztálya az elliptikus görbékön túl. És mindezeknek a tárgyaknak partnerrel kell rendelkezniük a szimmetrikus funkciók, például a moduláris formák szélesebb világában is. Ez lényegében az, ami a Langlands program.
Egy elliptikus görbe csak két változóval rendelkezik –X És Y– Így ábrázolható egy lapos papírlapon. De ha hozzáad egy másik változót, ZKapsz egy kanyargós felületet, amely háromdimenziós térben él. Ezt a bonyolultabb tárgyat abelius felületnek nevezzük, és az elliptikus görbékhez hasonlóan, megoldásai olyan struktúrával díszítik, amelyet a matematikusok meg akarnak érteni.
Természetesnek tűnt, hogy az abeli -felületek a moduláris formák bonyolultabb típusainak felelnek meg. De a kiegészítő változó sokkal nehezebbé teszi őket, és megoldásaikat sokkal nehezebb megtalálni. Bizonyítsuk be, hogy ők is kielégítik a moduláris tételeket, teljesen elérhetőnek tűntek. “Ismert probléma volt, hogy nem gondolkodni kellett, mert az emberek gondolkodtak rajta és elakadtak” – mondta Gee.
De Boxer, Calegari, Gee és Pilloni meg akarta próbálni.
Talál egy hídot
A négy matematikus részt vett a Langlands program kutatásában, és azt akarták bebizonyítani, hogy az egyik ilyen sejtés “egy olyan tárgy számára, amely valóban a valós életben mutatkozik be, nem pedig valami furcsa” – mondta Calegari.
Nemcsak az abeli felületek jelennek meg a valós életben, hanem a matematikus valódi élete, azaz azt mondani, de a modularitás tételének bizonyítása új matematikai ajtókat nyit meg. “Nagyon sok mindent megtehetsz, ha megvan ez a kijelentés, hogy nincs esélye másképp cselekedni” – mondta Caleari.
A matematikusok 2016 -ban kezdtek együtt dolgozni, remélve, hogy ugyanazokat a lépéseket követik, mint Taylor és Wiles elliptikus görbékkel rendelkeztek bizonyítékukban. De ezen szakaszok mindegyike sokkal bonyolultabb volt az abélien felületek számára.
Ezért egy olyan Abeli -felületre, az úgynevezett rendes abeli -felületre összpontosítottak, amely könnyebben működött. Egy ilyen felülethez van egy számkészlet, amely leírja a megoldások szerkezetét. Ha meg tudnák mutatni, hogy ugyanazt a számkészletet is moduláris alakból lehet származtatni, akkor megtették volna. A számok egyetlen címkeként szolgálnának, lehetővé téve számukra, hogy mindegyik abéli felületüket moduláris alakúakkal társítsák.
